1、首先，市面上的克莱因瓶只是在我们生活的三维空间中表示出来的模型，真正的克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面。

【资料图】

2、在三维空间中，我们只好牺牲部分特征，把它表现得似乎是自己和自己相交一样。

3、事实上，克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。

4、所以现在可以看到实物的克莱因瓶有容积，有人拿来做酒瓶了，而真正的克莱因瓶是没有容积的。

5、 其次，这个第四维既可以理解成空间，又可以理解成时间，或者其他抽象概念，因为一到三维比较方便地在生活的三维空间里直观表示而被统一叫做空间维度，我们理解之外的维度就不好用统一的名词概括。

6、比如在超弦理论中，存在十维空间（或更多，取决於所用的弦理论模型）。

7、其中包括我们一般说的一到三维，长度、宽度和纵深。

8、第四维是时间，控制着所有已知事物在任意点上的性质。

9、其他的六个维度我们很难理解，但对弦理论本身的自洽一致却是必须的。

10、 再次，克莱因瓶不是动态物，是静态的形状。

11、比如在二维空间就不好想象静态三维物体的样子。

12、但是克莱因瓶是没有边界的，相比而言，球体也没有边界，而莫比乌斯环有边界，也就是说一只小蚂蚁沿着克莱因瓶爬，爬不到边的。

13、这个边怎么理解呢，Numberphile讲克莱因瓶的视频里打了个比方，比如拿一个水瓶，如果水瓶壁特别薄，那么瓶口的位置特别锋利，小蚂蚁在爬进瓶内的过程中会被切成两半。

14、克莱因瓶就没有。

15、 由三维空间凭空加上一维不好想象，为了增进“四维空间实体投影到三维空间的模型”的理解，运用类比，咱们看看三维扭结投影到二维怎么表示。

16、如果不表示出适当的断裂，且适当脑补此“断裂”非真断裂，扭结本来由三维空间而避免的相交在二维空间就看起来相交了。

17、 以及三维莫比乌斯环照张照片投影到二维是这样子的，要想通过二维照片想象三维的样子，是需要一些想象力的，当然这个案例不难。

18、 在制作莫比乌斯带的过程中，我们要对纸带进行180°翻转再首尾相连，这就是一个三维空间下对二维图形的操作。

19、如果我们把两条莫比乌斯带沿着它们唯一的边粘合起来，你就得到了一个克莱因瓶。

20、当然不要忘了，我们必须在四维空间中才能真正有可能完成这个粘合，否则的话就不得不把纸撕破一点。

21、参见下图，橙色的莫比乌斯环，可以把它理解为一条，没有特意表明的部分理解为另一条莫比乌斯环。

22、里红色箭头指示的是莫比乌斯环，以及克莱因瓶的不可定向性，相反，传统立体图形，如球体就是可定向的。

23、克莱因瓶的另一种非典型形式是8字形克莱因瓶，它也是两条莫比乌斯环沿着仅有的一条边缝合在一起。

24、两种克莱因瓶在三维空间看起来不同，但在四维空间是相同的。

25、克莱因瓶其实就是截面呈圆形的立体莫比乌斯环。

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